나무장난감의 비선형 동역학?

오늘 웹서핑을 하다가 우연히 걸린 내용입니다. "Nonlinear Dynamics of Wooden Toys". 체코의 기계 시스템 연구소의 논문 제목이네요. 

Wooden Toy가 검색어였는데 이런 어려운 내용이 걸리다니... Nonlinear Dynamics라는 단어를 보자 20여년 전에 한참 프랙탈(Fractal) 이론에 대해 공부하던 생각이 나네요.

Nonlinear Dynamics는 우리말로 "비선형 동역학" 정도 되겠습니다. 어떤 시스템이 선형(Linear)의 특성을 보인다면 그건 아주 쉽게 해석과 예측이 가능한 시스템입니다. 

선형이라는 의미는 어떤 함수 f가 있을 때 f(a+b) = f(a) + f(b) 를 만족하고 f(ka) = k*f(a)를 만족할 경우를 의미합니다. 일반적으로 일차함수는 선형이라고 보면 됩니다.

쉽게 설명하면 입력에 비례하여 출력이 변하는 걸 말하는데, 예를 들어 100원을 주고 껌을 하나 살 수 있으면, 200원을 주면 껌을 두개 살 수 있는 것이고, 1,000원을 주면 껌을 열 개 살 수 있는 겁니다. 이건 이론이고 실제로는 1,000원을 내밀면 맘 좋은 주인 아줌마가 하나 끼워주어 열한개의 껌을 살 수도 있습니다. 이렇게 현실은 선형이 아닙니다. 현실은 항상 비선형입니다.

학자들은 어떤 물리 현상을 설명하기 위해 비선형적인 요소는 최소화하고 선형적인 요소로 최대한 근사시켜 모델링하고 해석합니다. 그러나 이렇게 해서는 근사치밖에 얻을 수 없고 어떤 경우에는 전혀 엉뚱한 결과로 나타나기도 합니다. 요즘은 컴퓨터의 도움으로 비선형 동역학 시스템을 해석하는게 아니라 시뮬레이션합니다.

긴 봉에 매달린 딱다구리는 마찰력에 의해 중력과 균형을 이루며 정지해 있습니다. 그런데 손으로 살짝 건드리면 (외부에서 힘을 가하면 = 동역학) 스프링의 작용에 의해 복잡하게 움직이기 시작합니다. 탄성과 관성, 중력, 마찰력이 복잡하게 얽힙니다. 아래 동영상을 보시죠.

덤블링하는 고양이입니다. 나무 봉에 긴 구멍이 파져있고 그 안에 무거운 쇠공이 들어있는 장난감입니다. 중력에 의해 처음 반바퀴를 돈 고양이는 쇠공의 움직임에 의해 충격을 받고 그 충격과 중력에 의해 덤블링을 합니다. 아래 동영상을 확인해 보세요.

마지막으로 뒤뚱뒤뚱 오리입니다. 경사로에 서 있는 오리는 중력과 둥근 다리에 의해 뒤뚱하는데 뒷다리가 앞다리를 치는 약한 충격으로 뒤뚱거리며 내려옵니다. 달랑거리는 다리 하나 있는 간단한 인형인데도 어떻게 움직일지 예측하기가 쉽지 않습니다.

만일 제가 뒤뚱뒤뚱 오리를 만든다면 오리의 크기는 얼마여야 하고, 무게는 얼마여야 하고, 앞다리와 뒷다리의 위치와 크기는 어때야 하는지 정해야 하는데, 뒤뚱뒤뚱 오리의 동역학 시스템을 해석할 수 있다면 정확하게 계산해서 한 방에 설계할 수 있겠죠.

그러나 우리 선조들은 저런 나무장난감들을 복잡한 수학계산 없이 풍부한 경험과 직관으로 만들어 냈습니다. 예전에 한번씩은 가지고 놀았을 저런 장난감들이 비선형 동역학계라는 실생활에 아무 도움 안되는 내용이었습니다.

마지막으로 유튜브에서 얻어 걸린 줄타는 원숭이 장난감을 보여드립니다. 이거 아들래미한테 만들어 주려고요.